Question

7．函数f（x）=λ（x²-1）+x-a的图象对于任意λ∈R，与x轴恒有公共点，则实数a的取值范围为[1，1]．

Answer 1

分析 （1）当λ=0时，f（x）为一次函数，它的图象与x轴恒有交点，得到a为全体实数；（2）当λ≠0时，f（x）为二次函数，就是要求二次函数恒与x轴有交点，即y=0时的一元二次方程λx²+x-a-λ=0恒有解即根的判别式4λ²+4λa+1恒大于等于0，即要它的根的判别式小于等于0得到关于a的不等式，求出解集即可得到a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=λ（x²-1）+x-a，
∴f（x）=λx²+x-a-λ，
（1）λ=0时，f（x）=x-a-λ是一次函数，它的图象恒与x轴相交，此时a∈R．
（2）λ≠0时，由题意知，方程λx²+x-a-λ=0恒有实数解，其充要条件是△=1+4λ（λ+a）=4λ²+4λa+1≥0．
又只需△′=（4a）²-16≤0，解得-1≤a≤1，即a∈[-1，1]．
∴λ=0时，a∈R；λ≠0时，a∈[-1，1]．
综上所述，a∈[-1，1]．
故答案为：[-1，1]．

点评 考查学生灵活运用一次函数和二次函数的图象与性质解决数学问题，会利用根的判别式判断二次函数与x轴的交点个数．掌握函数与方程的综合运用．