Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x+1|，x≤0}\\{|lo{g}_{2}x|，x＞0}\end{array}\right.$，若方程f（x）=a有四个不同的解x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，则${x_3}-\frac{1}{{（{x_1}+{x_2}）x_3^2{x_4}}}$的取值范围是[$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x+1|，x≤0}\\{|lo{g}_{2}x|，x＞0}\end{array}\right.$的图象如下，由图象可得x₁+x₂=-2，x₃x₄=1；1＜x₄≤2；从而化简${x_3}-\frac{1}{{（{x_1}+{x_2}）x_3^2{x_4}}}$=x₃+$\frac{1}{2{x}_{3}}$=$\frac{1}{{x}_{4}}$+$\frac{1}{2}$x₄，1＜x₄≤2，利用函数的单调性即可得到取值范围．

解答 解：作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x+1|，x≤0}\\{|lo{g}_{2}x|，x＞0}\end{array}\right.$的图象如右，
由图可知，x₁+x₂=-2，x₃x₄=1；1＜x₄≤2；
故${x_3}-\frac{1}{{（{x_1}+{x_2}）x_3^2{x_4}}}$=x₃+$\frac{1}{2{x}_{3}}$=$\frac{1}{{x}_{4}}$+$\frac{1}{2}$x₄，1＜x₄≤2；
由y=$\frac{1}{{x}_{4}}$+$\frac{1}{2}$x₄在（1，$\sqrt{2}$]递减，（$\sqrt{2}$，2]递增．
故x₄=$\sqrt{2}$取得最小值，且为2$\sqrt{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，
当x₄=1时，函数值为$\frac{3}{2}$，当x₄=2时，函数值为$\frac{3}{2}$．
即有取值范围是[$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$]．
故答案为：[$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键．