Question

7．设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，则称f（x）为“倍扩函数”，若函数f（x）=log₂（2^x+t）为“倍扩函数”，则实数t的取值范围是（　　）

• A． $（-∞，-\frac{1}{4}）$
• B． $（-\frac{1}{4}，0）$
• C． $（-\frac{1}{4}，0]$
• D． $[-\frac{1}{4}，+∞）$

Answer 1

分析 由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围．

解答 解：函数f（x）=log₂（2^x+t）为“倍扩函数”，且满足[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，
∴f（x）在[a，b]上是增函数；
∴$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（{2}^{a}+t）=2a}\\{lo{g}_{2}（{2}^{b}+t）=2b}\end{array}\right.$，
化简得：$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{a}+t={（2}^{a}）^{2}}\\{{2}^{b}+t=（{2}^{b}）^{2}}\end{array}\right.$，
∴方程f（x）=x²-x-t=0有两个不等的实根，且两根都大于0；
$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}-4ac＞0}\\{f（0）＞0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{1+4t＞0}\\{t＜0}\end{array}\right.$，
解得：$-\frac{1}{4}＜t＜0$．
∴满足条件t的范围是（$-\frac{1}{4}$，0）
故答案选：B．

点评 本题考察了函数的值域问题，解题时构造函数，渗透转化思想，是中档题．