Question

【题目】已知，函数，.

(1)若恒成立，求的取值范围；

(2)证明：不论取何正值，总存在正数，使得当时，恒有.

Answer 1

【答案】（1）；（2）总存在，使得当时，恒有.

【解析】【试题分析】（1）先将不等式等价转化为，然后构造函数，则，运用导数知识探求其最大值，进而求出实数的取值范围；（2）先对函数求导，从而将问题等价转化为，进而转化为函数的最大值进行分析探求：

解：(1)函数，的定义域均为.

因为，，所以可化为，

令，则，

由得，

所以，当，；当，，

所以的单调增区间是，单调减区间是.

所以.

所以.

(2)(方法一)：，

令，得；令，得，∴，

当，即时，显然存在正数满足题意，

当时，

∵在上递减，且，

∴必存在，.

故存在，使得当时，.

(方法二)：，令，，

所以，当，；当，.

所以的单调增区间是，单调减区间是，

因为，所以当，即时，存在，使得当，恒有.

即.

当时，由(1)知，即，

所以，

由得，所以，

因为，所以，根据函数的图象可知存在，

使得当，恒有，即.

综上所述，总存在，使得当时，恒有.