Question

四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内有BE⊥PC于E，且BE=

6

3

a．
（1）试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD．
（2）在平面PAD上是否存在一点G，使GE⊥PBC．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）过E作EG∥CD交PD于G，连接AG，在AB上取点F，使AF=EG，要证明EF∥平面PAD，只需证明FE∥AG即可；然后确定F的位置；
（2）由P向AH作垂线交AD于I，在△PIC中过E作PC的垂线交PI于G点，则EG⊥PC，利用线面垂直的判定定理PI⊥平面AHEB，进而可知PI⊥BE，进而根据BE⊥PC由线面垂直的判定证明出BE⊥平面PIC，进而证明出平面PBC⊥平面PIC，最后根据面面垂直的性质证明出GE⊥PBC．

解答： 解：（1）在平面PCD内，过E作EH∥CD交PD于H，连接AH，在AB上取点F，使AF=EH，则F即为所求作的点．
∵EH∥CD∥AF，EH=AF，
∴四边形FEHA为平行四边形，
∴FE∥AH．
又AH?平面PAD，FE?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
又在Rt△BCE中，CE=

BC2-BE2

=

3

3

a．
在Rt△PBC中，BC²=CE•CP
∴CP=

3

a．
又

EH

CD

=

PE

PC

，
∴EH=

PE

PC

•CD=

2

3

a，
∴AF=EH=

2

3

a．
∴点F为AB的一个三等分点．

（2）存在，
由P向AH作垂线交AD于I，在△PIC中过E作PC的垂线交PI于G点，则EG⊥PC，
证明如下；
∵PA⊥AB，AD⊥AB，
∴AB⊥平面PAD，
∵PI?平面PAD，
∴AB⊥PI，
∵PI⊥AH，AH?平面AHEB，AB?平面AHEB，AB∩AH=A，
∴PI⊥平面AHEB，
∵BE?平面AHEB，
∴PI⊥BE，
∵BE⊥PC，PC?平面PIC，PI?平面PIC，PC∩PI=P，
∴BE⊥平面PIC，
∵BE?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PIC，
∵平面PBC∩平面PIC=PC，BG⊥PC，
∴BG⊥平面PBC．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定．考查学生的逻辑思维能力和空间观察能力．第二问中作出与平面PBC垂直的面PIC时解题的关键，往常需要作出与面垂直的辅助线，这次需作出与之垂直的面，难度较大．