Question

已知点P是曲线C：

x2

4

-y²=1上的任意一点，直线l：x=2与双曲线C的渐近线交于A，B两点，若

OP

=λ

OA

+μ

OB

，（λ，μ∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（　　）

• A、λ²+μ²≥

  1

  2

• B、λ²+μ²≥2
• C、λ²+μ²≤

  1

  2

• D、λ²+μ²≤2

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：确定A，B的坐标，根据

OP

=λ

OA

+μ

OB

，确定坐标之间的关系，可得λμ=

1

4

，利用基本不等式，即可得出结论．

解答： 解：由题意，A（2，1），B（2，-1），
设P（x，y），
∵

OP

=λ

OA

+μ

OB

，
∴x=2λ+2μ，y=λ-μ
∵P为双曲线C上的任意一点，
∴

(2λ+2μ)2

4

-(λ-μ)2=1
∴4λμ=1，
∴λμ=

1

4

，
∴λ²+μ²≥2λμ=

1

2

，
故选A．

点评：本题考查向量知识的运用，考查基本不等式的运用，属于中档题．