Question

已知函数f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ（x∈R，0＜φ＜π），f（

π

4

）=

3

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（

α

2

-

π

3

）=

5

13

，α∈（

π

2

，π），求sin（α+

π

4

）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）由f（

π

4

）=

3

2

．可得cosφ=

3

2

，又0＜φ＜π，可解得φ，从而可求得f（x）的解析式；
（2）由f（

α

2

-

π

3

）=

5

13

，可得cosα=-

5

13

，又α∈（

π

2

，π），可得sinα，利用两角和的正弦公式即可求得sin（α+

π

4

）的值．

解答： 解：（1）由f（

π

4

）=

3

2

．可得sin

π

2

cosφ+cos

π

2

sinφ=

3

2

…1分
所以cosφ=

3

2

…2分
又∵0＜φ＜π…3分
∴φ=

π

6

…4分
∴f（x）=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

=sin（2x+

π

6

）…6分
（2）由f（

α

2

-

π

3

）=

5

13

，可得sin[2（

α

2

-

π

3

）+

π

6

]=

5

13

，即sin（α-

π

2

）=

5

13

…7分
所以cosα=-

5

13

…8分
又∵α∈（

π

2

，π），…9分
所以sinα=

1-cos2α

=

1-(- 5 13 )2

=

12

13

…10分
sin（α+

π

4

）=sinαcos

π

4

+cosαsin

π

4

=

12

13

×

2

2

-

5

13

×

2

2

=

7 2

26

…12分

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数解析式的求解及常用方法，所以基本知识的考查．