Question

15．已知约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤0}\\{x+y-2≤0}\\{y≥0}\\{x+ay-1≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（0，1）．

Answer 1

分析 由约束条件前三个不等式作出图形，结合直线x+ay-1=0过定点（1，0），可得约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤0}\\{x+y-2≤0}\\{y≥0}\\{x+ay-1≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域是一个三角形时直线的倾斜角的范围，进一步得到a的取值范围．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤0}\\{x+y-2≤0}\\{y≥0}\\{x+ay-1≥0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

由图可知，直线x+ay-1=0过定点A（1，0），
当直线x+ay-1=0的倾斜角为（90°，135°）时，
约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤0}\\{x+y-2≤0}\\{y≥0}\\{x+ay-1≥0}\end{array}\right.$表示的平面区域是一个三角形，
此时直线的斜率小于-1，a的范围为（0，1）．
故答案为：（0，1）．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法及数学转化思想方法，是中档题．