Question

9．已知f（x）=ln（1+x）-$\frac{ax}{x+1}$，x∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为5，求a的值；
（2）若函数f（x）的最小值为-a，求a的值；
（3）当x＞-1时，（1+x）ln（1+x）+（lnk-1）x+lnk＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（0），求出a的值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，求出a的值即可；
（3）问题转化为-lnk＜$ln（{1+x}）-\frac{x}{x+1}$，令a=1，则f（x）=$ln（{1+x}）-\frac{x}{x+1}$，根据函数的单调性求出k的范围即可．

解答 解：（1）∵$f'（x）=\frac{x+1-a}{{{{（{x+1}）}^2}}}$，∴f'（0）=1-a=5，∴a=-4．
（2）函数f（x）的定义域为（-1，+∞），$f'（x）=\frac{1}{1+x}-\frac{a}{{{{（{x+1}）}^2}}}$=$\frac{x+1-a}{{{{（{x+1}）}^2}}}$，
令f'（x）=0，则x=a-1，
①当a-1≤-1，即a≤0时，在（-1，+∞）上，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，无最小值．
②当a-1＞-1，即a＞0时，在（-1，a-1）上，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
在（a-1，+∞）上，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，
所以函数f（x）的最小值为f（a-1）=lna-a+1=-a，解得$a=\frac{1}{e}$．
综上，若函数f（x）的最小值为-a，则$a=\frac{1}{e}$．
（3）由（1+x）ln（1+x）+（lnk-1）x+lnk＞0，
得，$ln（{1+x}）-\frac{x}{x+1}$+lnk＞0，即-lnk＜$ln（{1+x}）-\frac{x}{x+1}$，
令a=1，则f（x）=$ln（{1+x}）-\frac{x}{x+1}$，
由（1）可知，当a=1时，f（x）在（-1，0）上单调递减，在（0，+∞）上，f（x）单调递增，
所以在（-1，+∞）上，f（x）_min=f（0）=0，所以-lnk＜0，即k＞1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．