Question

17．已知图1是一个边长为1的正三角形，三边中点的连线将它分成四个小三角形，去掉中间的一个小三角形，得到图2，再对图2中剩下的三个小三角形重复前述操作，得到图3，重复这种操作可以得到一系列图形．记第n个图形中所有剩下的小三角形的面积之和为a_n，所以去掉的三角形的周长之和为b_n．
（ I） 试求a₄，b₄；
（ II） 试求a_n，b_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据（Ⅱ）的结论代入计算即可；
（Ⅱ）根据图形依次求出三角形个数和最小三角形的边长，根据等差、等比数列的特点进行归纳，再利用等差、等比数列的通项公式进行求解．

解答 （ I）解：∵${a_n}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（\frac{3}{4}）^{n-1}}$，b_n=3${（\frac{3}{2}）}^{n-1}$-3，

∴${a_4}=\frac{{27\sqrt{3}}}{256}，b4=\frac{57}{8}$．
（ II）解：由图易知，后一个图形中剩下的三角形个数是前一个的3倍，
∴第n个图形中剩下的三角形个数为3^n-1．
又∵后一个图形中剩下的三角形边长是前一个的$\frac{1}{2}$倍，
∴第n个图形中每个剩下的三角形边长是${（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，面积是$\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（\frac{1}{4}）^{n-1}}$．
∴${a_n}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（\frac{3}{4}）^{n-1}}$．
设第n个图形中所有剩下的小三角形周长为c_n，由图可知，c_n-b_n=3．
因为后一个图形中剩下的三角形边长是前一个的$\frac{1}{2}$倍，
∴第n个图形中每个剩下的三角形边长是${（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，周长是$3（\frac{1}{2}{）^{n-1}}$．
∴${c_n}=3（\frac{3}{2}{）^{n-1}}$，从而${b_n}={c_n}-3=3（\frac{3}{2}{）^{n-1}}-3$．

点评 本题考查了归纳推理，等差、等比数列的通项公式，考查图形变化的一般规律问题，通过观察掌握其内在规律，考查学生观察、分析、归纳能力．