Question

设正数A、B、C的常用对数分别是a、b、c，且a+b+c=0，求证：A 

1

b

+

1

c

•B 

1

c

+

1

a

•C 

1

a

+

1

b

=

 

．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题设推导出lgA=a，lgB=b，lgC=c，a+b=-c，a+c=-b，b+c=-a，由对数运算法则推导出lg（A 

1

b

+

1

c

•B 

1

c

+

1

a

•C 

1

a

+

1

b

）=-3．由此能够证明A 

1

b

+

1

c

•B 

1

c

+

1

a

•C 

1

a

+

1

b

=

1

1000

．

解答： 解：∵正数A、B、C的常用对数分别是a、b、c，且a+b+c=0，
∴lgA=a，lgB=b，lgC=c，
a+b=-c，a+c=-b，b+c=-a，
∵lg（A 

1

b

+

1

c

•B 

1

c

+

1

a

•C 

1

a

+

1

b

）
=（

1

b

+

1

c

）lgA+（

1

c

+

1

a

）lgB+（

1

a

+

1

b

）lgC
=（

1

b

+

1

c

）a+（

1

c

+

1

a

）b+（

1

a

+

1

b

）c
=

a

b

+

a

c

+

b

c

+

b

a

+

c

a

+

c

b

=

b+c

a

+

a+c

b

+

a+b

c

=

-a

a

+

-b

b

+

-c

c

=（-1）+（-1）+（-1）
=-3．
∴A 

1

b

+

1

c

•B 

1

c

+

1

a

•C 

1

a

+

1

b

=10^-3=

1

1000

．
故答案为：

1

1000

．

点评：本题考查对数的运算法则的应用，是中档题，解题时要熟练掌握对数的性质的灵活运用．