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    13．2016年高考报名体检中，某市共有40000名男生参加体检，体检其中一项为测量身高，统计调查数据显示所有男生的身高服从正态分布N（170，16），统计人员从市一中高三的参加体检的男生中随机抽取了50名进行身高测量，所得数据全部介于162cm和186cm之间，并将测量数据分成6组：第一组[162，166），第二组[166，170），…，第六组[182，186），然后按上述分组方式绘制得到如图所示的频率分布直方图．
    （1）试评估市一中高三年级参加体检的男生在全市高三年级参加体验的男生中的平均身高状况（同一组中的数据用该区间的中间值作代表）；
    （2）在这50名参加体检的男生身高在178cm以上（含178cm）的人中任意抽取3人，将该3人中身高排名（从高到低）在全市参加体检的高三男生身高前52名的人数记为X，求X的数学期望．
    参考数据：
    若X～N（μ，δ2），则P（μ-δ＜X≤μ+δ）=0.6826，P（μ-2δ＜X≤μ+2δ）=0.9544，P（μ-3δ＜X≤μ+3δ）=0.9974．

    分析 （1）由频率分布直方图求出该校高三年级参加体检的男生的平均身高，由此能求出结果．
    （2）由频率分布直方图知后两组频率为0.12，从而这50名参加体检的男生中身高在职78cm以上（含178cm）的人数为6人，进而得到全市参加体检的男生身高前52名的身高在182cm以上，随机变量X的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

    解答 解：（1）由频率分布直方图得该校高三年级参加体检的男生的平均身高为：
    （164×$\frac{5}{100}$+168×$\frac{7}{100}$+172×$\frac{8}{100}$+176×$\frac{2}{100}$+180×$\frac{2}{100}$+184×$\frac{1}{100}$）×4=170.72（cm）．
    高于全市的平均值170cm．
    （2）由频率分布直方图知后两组频率为（0.02+0.01）×4=0.12，
    人数为0.12×50=6，
    即这50名参加体检的男生中身高在职78cm以上（含178cm）的人数为6人，
    ∵P（170-3×4＜X≤170+3×4）=0.9974，
    ∴P（X≥182）=$\frac{1-0.9974}{2}$=0.0013，
    0.0013×4000=52，
    ∴全市参加体检的男生身高前52名的身高在182cm以上，
    这50人中，182cm以上的有0.01×4×5=2人，
    ∴随机变量X的取值为0，1，2，
    则P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
    P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
    P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
    ∴X的分布列为：

     X 0 1 2
     P $\frac{1}{5}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{1}{5}$
    E（X）=$0×\frac{1}{5}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{5}$=1．

    点评 本题考查频率分布直方图的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．

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