Question

【题目】过抛物线L：x2=2py（p＞0）的焦点F且斜率为 的直线与抛物线L在第一象限的交点为P，且|PF|=5．

（1）求抛物线L的方程；
（2）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=kx+t交抛物线L于不同的两点M、N，若抛物线上一点C满足 =λ（ + ）（λ＞0），求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设直线方程为y= x+ ，

代入x2=2py，可得x2﹣ p﹣p2=0，∴x=2p或﹣ ，

∴P（2p，2p），

∵|PF|=5，

∴2p+ =5，

∴p=2，

∴抛物线L的方程x2=4y

（2）解：∵直线与圆相切，

∴ =1，

∴k2=t2+2t，

把直线方程代入抛物线方程并整理得：x2﹣4kx﹣4t=0

由△=16k2+16t=16（t2+2t）+16t＞0得t＞0或t＜﹣3

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则x1+x2=4k，y1+y2=4k2+2t

由 =λ（ + ）=（4kλ，（4k2+2t）λ）

得C（4kλ，（4k2+2t）λ）

∵点C在抛物线x2=4y上，

∴16k2λ2=4（4k2+2t）λ，

∴λ=1+ =1+

∵t＞0或t＜﹣3，

∴2t+4＞4或 2t+4＜﹣2

∴λ的取值范围为（ ，1）∪（1， ）

【解析】（1）设直线方程为y= x+ ，代入x2=2py，求出P的坐标，利用抛物线的定义，求出p，即可求抛物线L的方程；（2）为直线与圆相切，利用相切的性质即可得出k与t 的关系式，再把直线的方程与抛物线的方程联立得到关于x的一元二次方程，利用判别式△＞0得到t的取值范围，利用根与系数的关系及已知满足足 =λ（ + ）（λ＞0），即可得出λ的取值范围．