【题目】过抛物线L:x2=2py(p>0)的焦点F且斜率为 的直线与抛物线L在第一象限的交点为P,且|PF|=5.
(1)求抛物线L的方程;
(2)与圆x2+(y+1)2=1相切的直线l:y=kx+t交抛物线L于不同的两点M、N,若抛物线上一点C满足 =λ(
+
)(λ>0),求λ的取值范围.
【答案】
(1)解:设直线方程为y= x+
,
代入x2=2py,可得x2﹣ p﹣p2=0,∴x=2p或﹣
,
∴P(2p,2p),
∵|PF|=5,
∴2p+ =5,
∴p=2,
∴抛物线L的方程x2=4y
(2)解:∵直线与圆相切,
∴ =1,
∴k2=t2+2t,
把直线方程代入抛物线方程并整理得:x2﹣4kx﹣4t=0
由△=16k2+16t=16(t2+2t)+16t>0得t>0或t<﹣3
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1+x2=4k,y1+y2=4k2+2t
由 =λ(
+
)=(4kλ,(4k2+2t)λ)
得C(4kλ,(4k2+2t)λ)
∵点C在抛物线x2=4y上,
∴16k2λ2=4(4k2+2t)λ,
∴λ=1+ =1+
∵t>0或t<﹣3,
∴2t+4>4或 2t+4<﹣2
∴λ的取值范围为( ,1)∪(1,
)
【解析】(1)设直线方程为y= x+
,代入x2=2py,求出P的坐标,利用抛物线的定义,求出p,即可求抛物线L的方程;(2)为直线与圆相切,利用相切的性质即可得出k与t 的关系式,再把直线的方程与抛物线的方程联立得到关于x的一元二次方程,利用判别式△>0得到t的取值范围,利用根与系数的关系及已知满足足
=λ(
+
)(λ>0),即可得出λ的取值范围.
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【题目】某大学的名同学准备拼车去旅游,其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名,分乘甲、乙两辆汽车,每车限坐
名同学(乘同一辆车的
名同学不考虑位置),其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的
名同学中恰有
名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有( ).
A. 种 B.
种 C.
种 D.
种
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【题目】已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,4]上的最大值为9,最小值为1,记f(x)=g(|x|).
(1)求实数a,b的值;
(2)若不等式f(log2k)>f(2)成立,求实数k的取值范围.
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【题目】某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中,统计解答题失分的茎叶图如下:
(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的均值和方差的大小,并判断哪位同学做解答题相对稳定些;
(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为频率,假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响,预测在接下来的2次周练中,甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值.
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【题目】已知集合A={x|1≤x≤3},B={x|x>2}.
(Ⅰ)分别求A∩B,(RB)∪A;
(Ⅱ)已知集合C={x|1<x<a},若CA,求实数a的取值集合.
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【题目】设是两条不同的直线,
是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若,则
②若
,则
③若,则
④若
,则
其中正确命题的序号是( )
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
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【题目】如图,在圆锥PO中,已知,圆O的直径
,C是弧AB的中点,D为AC的中点.
(1)求异面直线PD和BC所成的角的正切值;
(2)求直线OC和平面PAC所成角的正弦值.
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