Question

20．过椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1$上一点$M（\sqrt{3}$，$\sqrt{2}）$作直线MA、MB交椭圆于A、B两点，若MA与MB的斜率互为相反数，则直线AB的斜率为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 设直线AM方程y=k（x-$\sqrt{3}$）+$\sqrt{2}$，代入椭圆方程，利用点$M（\sqrt{3}$，$\sqrt{2}）$在椭圆上，可求M的坐标，利用直线AN的斜率与AM的斜率互为相反数，将k换为-k，可求N的坐标，由两点的斜率公式，可得直线MN的斜率，化简整理即可得到定值．

解答 解：由题意可知：设直线AM方程y=k（x-$\sqrt{3}$）+$\sqrt{2}$，
代入椭圆方程，消y可得（1+3k²）x²-6k（$\sqrt{3}$k-$\sqrt{2}$）x+3（$\sqrt{3}$k-$\sqrt{2}$）²-9=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由点$M（\sqrt{3}$，$\sqrt{2}）$在椭圆上，
则$\sqrt{3}$x₁=$\frac{3（\sqrt{3}k-\sqrt{2}）^{2}-9}{1+3{k}^{2}}$，x₁=$\frac{\sqrt{3}（\sqrt{3}k-\sqrt{2}）^{2}-3\sqrt{3}}{1+3{k}^{2}}$，
则y₁=kx₁+$\sqrt{2}$-$\sqrt{3}$k．
又直线AN的斜率与AM的斜率互为相反数，在上式中以-k代k，
可得x₂=$\frac{\sqrt{3}（\sqrt{3}k+\sqrt{2}）^{2}-3\sqrt{3}}{1+3{k}^{2}}$，y₂=-kx₂+$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$k．
所以直线MN的斜率k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{-k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2\sqrt{3}k}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{-k[\frac{\sqrt{3}（\sqrt{3}k-\sqrt{2}）^{2}-3\sqrt{3}}{1+3{k}^{2}}+\frac{\sqrt{3}（\sqrt{3}k+\sqrt{2}）^{2}-3\sqrt{3}}{1+3{k}^{2}}]+2\sqrt{3}k}{\frac{\sqrt{3}（\sqrt{3}k+\sqrt{2}）^{2}-3\sqrt{3}}{1+3{k}^{2}}-\frac{\sqrt{3}（\sqrt{3}k-\sqrt{2}）^{2}-3\sqrt{3}}{1+3{k}^{2}}}$，
=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
即直线AB的斜率$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故答案为：．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查直线的斜率为定值的求法，两点的斜率公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题．