Question

12．设函数f（x）=ax³+bx+c（a＞0）为奇函数，其图象在点（1，f（1））处的线与直线x-6y-7=0垂直，导函数f′（x）的最小值为-12．
（1）求a，b，c的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先根据奇函数求出c的值，再根据导函数f'（x）的最小值求出b的值，最后依据在x=1处的导数等于切线的斜率求出c的值即可；
（2）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求得区间即为单调区间，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．

解答 解：（1）∵f（x）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即-ax³-bx+c=-ax³-bx-c，
∴c=0，
∵f'（x）=3ax²+b的最小值为-12，
∴b=-12，
又直线x-6y-7=0的斜率为$\frac{1}{6}$，
因此，f'（1）=3a+b=-6，
∴a=2，b=-12，c=0．
（2）f（x）=2x³-12x．f′（x）=6x2-12=6（x+$\sqrt{2}$）（x-$\sqrt{2}$），
列表如下：

x	（-∞，-$\sqrt{2}$）	-$\sqrt{2}$	（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）	$\sqrt{2}$	（$\sqrt{2}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大	递减	极小	递增

所以函数f（x）的单调增区间是（-∞，-$\sqrt{2}$）和（$\sqrt{2}$，+∞），
∵f（-1）=10，f（$\sqrt{2}$）=-8$\sqrt{2}$，f（3）=18，
∴f（x）在[-1，3]上的最大值是f（3）=18，最小值是f（$\sqrt{2}$）=-8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力．