【题目】已知函数,
为
的导数,函数
在
处取得最小值.
(1)求证:;
(2)若时,
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)见解析; (2).
【解析】
(1)对求导,令
,求导研究单调性,分析可得存在
使得
,即
,即得证;
(2)分,
两种情况讨论,当
时,转化
利用均值不等式即得证;当
,
有两个不同的零点
,
,分析可得
的最小值为
,分
,
讨论即得解.
(1)由题意,
令,则
,知
为
的增函数,
因为,
,
所以,存在使得
,即
.
所以,当时
,
为减函数,
当时
,
为增函数,
故当时,
取得最小值,也就是
取得最小值.
故,于是有
,即
,
所以有,证毕.
(2)由(1)知,的最小值为
,
①当,即
时,
为
的增函数,
所以,
,
由(1)中,得
,即
.
故满足题意.
②当,即
时,
有两个不同的零点
,
,
且,即
,
若时
,
为减函数,(*)
若时
,
为增函数,
所以的最小值为
.
注意到时,
,且此时
,
(ⅰ)当时,
,
所以,即
,
又
,
而,所以
,即
.
由于在下,恒有
,所以
.
(ⅱ)当时,
,
所以,
所以由(*)知时,
为减函数,
所以,不满足
时,
恒成立,故舍去.
故满足条件.
综上所述:的取值范围是
.
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【题目】(2016高考新课标II,理15)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________.
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【题目】设椭圆(
)的离心率为
,圆
与
轴正半轴交于点
,圆
在点
处的切线被椭圆
截得的弦长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设圆上任意一点
处的切线交椭圆
于点
,试判断
是否为定值?若为定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.
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【题目】已知椭圆,
、
为椭圆的左、右焦点,
为椭圆上一点,且
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线,过点
的直线交椭圆于
、
两点,线段
的垂直平分线分别交直线
、直线
于
、
两点,当
最小时,求直线
的方程.
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【题目】随着科学技术的飞速发展,网络也已经逐渐融入了人们的日常生活,网购作为一种新的消费方式,因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数,得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2015年,“x=2”表示2016年,依次类推;y表示人数):
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y(万人) | 20 | 50 | 100 | 150 | 180 |
(1)试根据表中的数据,求出y关于x的线性回归方程,并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人;
(2)该公司为了吸引网购者,特别推出“玩网络游戏,送免费购物券”活动,网购者可根据抛掷骰子的结果,操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”,则网购者可获得免费购物券500元;若遥控车最终停在“失败大本营”,则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是,方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格,网购者每抛掷一次骰子,遥控车向前移动一次.若掷出奇数,遥控车向前移动一格(从
到
)若掷出偶数遥控车向前移动两格(从
到
),直到遥控车移到第19格胜利大本营)或第20格(失败大本营)时,游戏结束。设遥控车移到第
格的概率为
,试证明
是等比数列,并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.
附:在线性回归方程中,
.
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【题目】每年3月21日是世界睡眠日,良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础.为了做好今年的世界睡眠日宣传工作,某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人,通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位:小时),并绘制出如右的频率分布直方图:
(Ⅰ)求这100人睡眠时间的平均数(同一组数据用该组区间的中点值代替,结果精确到个位);
(Ⅱ)由直方图可以认为,人的睡眠时间近似服从正态分布
,其中
近似地等于样本平均数
,
近似地等于样本方差
,
.假设该辖区内这一年龄层次共有10000人,试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2,50.8)的人数.
附:.若随机变量
服从正态分布
,则
,
.
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【题目】如下面左图,在直角梯形中,
,
,
,
,
,点
在
上,且
,将
沿
折起,得到四棱锥
(如下面右图).
(1)求四棱锥的体积的最大值;
(2)在线段上是否存在点
,使得
平面
?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】凤鸣山中学的高中女生体重 (单位:kg)与身高
(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据
(
),用最小二乘法近似得到回归直线方程为
,则下列结论中不正确的是( )
A.与
具有正线性相关关系
B.回归直线过样本的中心点
C.若该中学某高中女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg
D.若该中学某高中女生身高为160cm,则可断定其体重必为50.29kg.
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