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【题目】已知函数的导数,函数处取得最小值.

1)求证:

2)若时,恒成立,求的取值范围.

【答案】1)见解析; 2.

【解析】

1)对求导,令,求导研究单调性,分析可得存在使得,即,即得证;

2)分两种情况讨论,当时,转化利用均值不等式即得证;当有两个不同的零点,分析可得的最小值为,分讨论即得解.

1)由题意

,则,知的增函数,

因为

所以,存在使得,即

所以,当为减函数,

为增函数,

故当时,取得最小值,也就是取得最小值.

,于是有,即

所以有,证毕.

2)由(1)知,的最小值为

,即时,的增函数,

所以

由(1)中,得,即

满足题意.

,即时,有两个不同的零点

,即

为减函数,(*

为增函数,

所以的最小值为

注意到时,,且此时

)当时,

所以,即

,所以,即

由于在下,恒有,所以

)当时,

所以

所以由(*)知时,为减函数,

所以,不满足时,恒成立,故舍去.

满足条件.

综上所述:的取值范围是

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x

1

2

3

4

5

y(万人)

20

50

100

150

180

1)试根据表中的数据,求出y关于x的线性回归方程,并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人;

2)该公司为了吸引网购者,特别推出玩网络游戏,送免费购物券活动,网购者可根据抛掷骰子的结果,操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在胜利大本营,则网购者可获得免费购物券500元;若遥控车最终停在失败大本营,则网购者可获得免费购物券200. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是,方格图上标有第0格、第1格、第2格、、第20格。遥控车开始在第0格,网购者每抛掷一次骰子,遥控车向前移动一次.若掷出奇数,遥控车向前移动一格(从)若掷出偶数遥控车向前移动两格(从),直到遥控车移到第19格胜利大本营)或第20格(失败大本营)时,游戏结束。设遥控车移到第格的概率为,试证明是等比数列,并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.

附:在线性回归方程中,.

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