Question

17．已知函数f（x）=|$\frac{1}{3}$x-lnx|，若关于x的方程f（x）=mx有4个不同的解，则实数m的取值范围为（0，$\frac{1}{e}$-$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 结合函数图象求出切点坐标，从而求出m的范围即可．

解答 解：画出函数f（x）的图象，如图示：
，
假设f（x）=mx与f（x）的切点是（a，lna-$\frac{1}{3}$a），
则m=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{3}$，
故lna-$\frac{1}{3}$a=（$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{3}$）a，解得：a=e，
则m=$\frac{1}{e}$-$\frac{1}{3}$，
故m∈（0，$\frac{1}{e}$-$\frac{1}{3}$），
故答案为：（0，$\frac{1}{e}$-$\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查了函数的交点问题，考查数形结合思想，转化思想，是一道中档题．