Question

1．设数列{a_n}的各项均为正数，{a_n}的前n项和${S_n}=\frac{1}{4}{（{{a_n}+1}）^2}$，n∈N^*．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）等比数列{b_n}的各项均为正数，${b_n}{b_{n+1}}≥{S_n}^2$，n∈N^*，且存在整数k≥2，使得${b_k}{b_{k+1}}={S_k}^2$．
（i）求数列{b_n}公比q的最小值（用k表示）；
（ii）当n≥2时，${b_n}∈{N^*}$，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}的前n项和${S_n}=\frac{1}{4}{（{{a_n}+1}）^2}$，n∈N^*．利用递推关系可得：a_n-a_n-1=2，再利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）（i）由（1）可得：a_n=2n-1，S_n=n²．根据存在整数k≥2，使得${b_k}{b_{k+1}}={S_k}^2$．可得b₁=$\frac{{k}^{2}}{{q}^{k-\frac{1}{2}}}$．b_n=k²•${q}^{n-k-\frac{1}{2}}$．由${b_n}{b_{n+1}}≥{S_n}^2$，n∈N^*，可得：q^n-k≥$（\frac{n}{k}）^{2}$，当n=k时，上式恒成立．当n≥k+1时，可得：（n-k）lnq=2$ln\frac{n}{k}$，利用导数研究其单调性可得：$\frac{ln\frac{n}{k}}{\frac{n}{k}-1}$的最大值为k$ln（1+\frac{1}{k}）$，q≥$（1+\frac{1}{k}）^{2}$．当n≤k-1时，q≤$（1+\frac{1}{k-1}）^{2}$．可得q的最小值为$（1+\frac{1}{k}）^{2}$（整数k≥2）．
（ii）由题意可得：q∈N^*，由（i）可知：q∈$[（1+\frac{1}{k}）^{2}，（1+\frac{1}{k-1}）^{2}]$，（k≥2），可得：q≥$（1+\frac{1}{k}）^{2}$＞1，q≤$（1+\frac{1}{k-1}）^{2}$≤4，q∈{2，3，4}，分类讨论即可得出．

解答 （1）证明：∵数列{a_n}的前n项和${S_n}=\frac{1}{4}{（{{a_n}+1}）^2}$，n∈N^*．
∴当n=1时，${a}_{1}=\frac{1}{4}（{a}_{1}+1）^{2}$，解得a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-1=$\frac{1}{4}$$（{a}_{n}+1）^{2}$-$\frac{1}{4}$$（{a}_{n-1}+1）^{2}$，
化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵数列{a_n}的各项均为正数，∴a_n+a_n-1＞0（n≥2），a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是等差数列，公差为2．
（2）解：（i）由（1）可得：a_n=1+2（n-1）=2n-1，S_n=n²．
∵存在整数k≥2，使得${b_k}{b_{k+1}}={S_k}^2$．
∴${b}_{1}^{2}{q}^{2k-1}={k}^{4}$，可得b₁=$\frac{{k}^{2}}{{q}^{k-\frac{1}{2}}}$．
∴b_n=${b}_{1}{q}^{n-1}$=k²•${q}^{n-k-\frac{1}{2}}$，
∵${b_n}{b_{n+1}}≥{S_n}^2$，n∈N^*，∴k²•q^n-k≥n²，∴q^n-k≥$（\frac{n}{k}）^{2}$，当n=k时，上式恒成立．
当n≥k+1时，可得：（n-k）lnq=2$ln\frac{n}{k}$，
∴$\frac{klnq}{2}$≥$\frac{ln\frac{n}{k}}{\frac{n}{k}-1}$$（\frac{n}{k}≥1+\frac{1}{k}）$，令
f（x）=$\frac{lnx}{x-1}$，（x＞1），则f′（x）=$\frac{1-\frac{1}{x}+ln\frac{1}{x}}{（x-1）^{2}}$，
令g（t）=1-t+lnt，（0＜t＜1），则g′（t）=$\frac{1-t}{t}$＞0，因此函数g（t）在（0，1）内单调递增，
∴g（t）＜g（1）=0，∴f′（x）＜0，∴函数f（x）在（1，+∞）为减函数，
∴$\frac{ln\frac{n}{k}}{\frac{n}{k}-1}$的最大值为k$ln（1+\frac{1}{k}）$，∴$\frac{klnq}{2}$≥k$ln（1+\frac{1}{k}）$，
∴q≥$（1+\frac{1}{k}）^{2}$．
当n≤k-1时，q≤$（1+\frac{1}{k-1}）^{2}$．∴q的最小值为$（1+\frac{1}{k}）^{2}$（整数k≥2）．
（ii）由题意可得：q∈N^*，由（i）可知：q∈$[（1+\frac{1}{k}）^{2}，（1+\frac{1}{k-1}）^{2}]$，（k≥2），
∴q≥$（1+\frac{1}{k}）^{2}$＞1，q≤$（1+\frac{1}{k-1}）^{2}$≤4，
∴q∈{2，3，4}，当q=2时，$（1+\frac{1}{k}）^{2}$≤2≤$（1+\frac{1}{k-1}）^{2}$，只能取k=3，此时b_n=$9•{2}^{n-\frac{7}{2}}$，舍去．
当q=3时，$（1+\frac{1}{k}）^{2}$≤3≤$（1+\frac{1}{k-1}）^{2}$，只能取k=2，此时b_n=4$•{3}^{n-\frac{5}{2}}$，舍去．
当q=4时，$（1+\frac{1}{k}）^{2}$≤4≤$（1+\frac{1}{k-1}）^{2}$，只能取k=2，此时b_n=2^2n-7，符合条件．
综上可得：b_n=2^2n-7．

点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、不等式的性质、分类讨论方法、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．