Question

已知[x]表示不超过实数x的最大整数（x∈R），如：[-1.3]=-2，[0.8]=0，[3.4]=3．定义F（x）=x-[x]，给出如下命题：
①使[x+1]=3成立的x的取值范围是2≤x＜3；
②函数F（x）的定义域为R，值域为[0，1]；
③F（

2013

2014

）+F（

20132

2014

）+F（

20133

2014

）+…+F（

20132014

2014

）=1007；
④设函数G（x）=

F(x)         x≥0 G(x+1)    x＜0

，则函数y=G（x）-|sinx|，x∈[-π，π]的不同零点有7个．
其中正确的命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：推理和证明

分析：①由题意知[x+1]=3时，有

x+1≥3 x+1＜4

解得即可；
②由题意[x]≤x＜[x]+1，得x-[x]的取值范围，即{x}的值域；
③对于F（

2013

2014

）=

2013

2014

，F（

20132

2014

）=

1

2014

，…F（

20132014

2014

）=

1

2014

，计算即可
④由题意0≤f（x）＜1，讨论0≤x＜1，x≥1和x＜0时，y=G（x）-|sinx|，x∈[-π，π]的零点情况．

解答： 解：对于①∵[x+1]=3，有

x+1≥3 x+1＜4

，解得2≤x＜3，故①正确
对于②∵[x]≤x＜[x]+1，∴0≤x-[x]＜1，函数{x}的值域是[0，1），故②错误；
对于③F（

2013

2014

）=

2013

2014

，F（

20132

2014

）=F(

(2014-1)2

2014

)=F(2014-2+

1

2014

)=

1

2014

，F（

20133

2014

）=F（2020142-3×2014+3-

1

2014

）=F（-

1

2014

）=

2013

2014

+，…，F（

20132014

2014

）=

1

2014

所以F（

2013

2014

）+F（

20132

2014

）+F（

20133

2014

）+…+F（

20132014

2014

）=

2013

2014

+

1

2014

+

2013

1014

+…+

1

2014

=1007；，故③正确
对于④当0≤x＜1时，G（x）=x+[x]=x+0=x，当1≤x＜2，则G（x）=x-1，
当2≤x＜3，则G（x）=x-2，
当3≤x＜4，则G（x）=x-3
…
当-1≤x＜0，则0≤x+1＜1，则G（x）=G（x+1）=x+1，
当-2≤x＜-1，则-1≤x+1＜0，则G（x）=G（x+1）=x+2，
当-3≤x＜-2，则-2≤x+1＜-1，则G（x）=G（x+1）=x+3，…
令y=0，则G（x）=|sinx|，在同一个坐标系中，画出函数y=G（x）和
y=|sinx|的图象，显然有7个交点，故④正确．

故其中正确的命题的序号为①③④．
故答案为：①③④

点评：本题是新定义题，考查函数的性质及应用，考查函数的定义域、值域以及函数的周期性，运用图象相交的交点个数来确定函数的零点个数，对定义的准确理解是迅速解题的关键．