Question

1．已知F₁，F₂是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左右焦点，过F₂作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且$\overrightarrow{A{F_2}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{{F_2}B}$，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由题意得右焦点F₂（c，0），设一渐近线OA的方程为y=$\frac{b}{a}$x，则另一渐近线OB的方程为y=-$\frac{b}{a}$x，由垂直的条件可得F₂A的方程，代入渐近线方程，可得A，B的横坐标，由向量共线的坐标表示，结合离心率公式，解方程可得．

解答 解：由题意得右焦点F₂（c，0），
设一渐近线OA的方程为y=$\frac{b}{a}$x，
则另一渐近线OB的方程为y=-$\frac{b}{a}$x，
由F₂A的方程为y=-$\frac{a}{b}$（x-c），
联立方程y=$\frac{b}{a}$x，
可得A的横坐标为$\frac{{a}^{2}}{c}$，
由F₂A的方程为y=-$\frac{a}{b}$（x-c），
联立方程y=-$\frac{b}{a}$x，
可得B的横坐标为$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}-{b}^{2}}$．
由$\overrightarrow{A{F_2}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{{F_2}B}$，
可得3（c-$\frac{{a}^{2}}{c}$）=$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}-{b}^{2}}$-c，
即为-$\frac{3{a}^{2}}{c}$+4c=$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，
由e=$\frac{c}{a}$，可得-$\frac{3}{{e}^{2}}$+4=$\frac{1}{2-{e}^{2}}$，
即有2e⁴-5e²+3=0，解得e²=$\frac{3}{2}$或1（舍去），
即为e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故选：A．

点评 本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，同时考查向量的共线的坐标表示，求得点A、B的横坐标是解题的关键．