Question

设数列{a_n}的首项a₁为常数，且a_n+1=3ⁿ﹣2a_n（n∈N⁺）．

（1）证明：{a_n﹣}是等比数列；

（2）若a₁=，{a_n}中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．

（3）若{a_n}是递增数列，求a₁的取值范围．

Answer 1

解答： （1）证明：因为==﹣2，

所以数列{a_n﹣}是等比数列；

（2）解：{a_n﹣}是公比为﹣2，首项为a₁﹣=的等比数列．

通项公式为a_n=+（a₁﹣）（﹣2）^n﹣1=+

若{a_n}中存在连续三项成等差数列，则必有2a_n+1=a_n+a_n+2，

即

解得n=4，即a₄，a₅，a₆成等差数列． 

（3）解：如果a_n+1＞a_n成立，

即＞+（a₁﹣）（﹣2）^n﹣1对任意自然数均成立．

化简得，

当n为偶数时，

因为是递减数列，

所以p（n）_max=p（2）=0，即a₁＞0；    

当n为奇数时，，

因为是递增数列，

所以q（n）_min=q（1）=1，即a₁＜1；

故a₁的取值范围为（0，1）．