Question

双曲线x2-

y2

3

=1的左右两支上各有一点A，B，点B在直线x=

1

2

上的射影是点B′，若直线AB过右焦点，则直线AB′必过点（　　）

• A、（1，0）
• B、（

  5

  4

  ，0）
• C、（

  3

  2

  ，0）
• D、（

  7

  4

  ，0）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：双曲线x2-

y2

3

=1的右焦点为（2，0），设AB：y=k（x-2），代入双曲线x2-

y2

3

=1，得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，由此推导出直线AB′的方程，从而能求出直线AB'过x轴定点．

解答： 解：双曲线x2-

y2

3

=1的右焦点为（2，0），
设AB：y=k（x-2），
代入双曲线x2-

y2

3

=1，得
3x²-k²（x²-4x+4）=3，
（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
x_1，2=

-2k2±3 k2+1

3-k2

，
设A（x₁，k（x₁-2）），B（x₂，k（x₂-2）），则B′（

1

2

，k（x₂-2）），
AB′的斜率=

k(x1-x2)

x1- 1 2

，k′=

y1-y2

x1- 1 2

=

4k

k2+1 +2

，
∴直线AB′的方程为：y-3k•

k2+1 -2

3-k2

=（x-

1

2

）•

4k

k2+1 +2

．
令y=0，解得x=

5

4

．
∴直线AB'过x轴定点（

5

4

，0）．
故选：B．

点评：本题考查直线过x轴上的定点坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线与双曲线的位置关系的灵活运用．