Question

关于函数f（x）=|x²-1|，给出下列结论：
①f（x）是偶函数；
②若函数y=f（x）-m有四个零点，则实数m的取值范围是（0，1）；
③f（x）在区间（0，+∞）内单调递增；
④若f（a）=f（b）（0＜a＜b），则0＜ab＜1．
其中正确的是（　　）

• A、①②
• B、③④
• C、①③④
• D、①②④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,数形结合,函数的性质及应用

分析：作出函数f（x）=|x²-1|的图象，由奇偶性定义，可判断①；
作出直线y=m，由图象可知实数m的取值范围是（0，1），即可判断②；
由y轴右边的图象，可判断③；
若f（a）=f（b）（0＜a＜b），则a²+b²=2，a²+b²＞2ab，即0＜ab＜1，即可判断④．

解答： 解：作出函数f（x）=|x²-1|的图象，
由f（-x）=f（x），可知f（x）是偶函数，故①正确；
若函数y=f（x）-m有四个零点，如图作出直线y=m，由图象可知
实数m的取值范围是（0，1），故②正确；
由图象可知，f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
故③错误；
若f（a）=f（b）（0＜a＜b），则1-a²=b²-1，即a²+b²=2，
a²+b²＞2ab，即0＜ab＜1，故④正确．
故选：D．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性和应用，考查数形结合的能力，注意运用图象求交点，判断函数的性质，属于中档题．