Question

13．设正项等比数列{a_n}中，a₁=3，$\frac{1}{2}{a_3}$是9a₁与8a₂的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=$\frac{1}{{{{log}_2}{a_n}•{{log}_3}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n；若对任意n∈N^*都有T_n＞log_m2成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设正项等比数列{a_n}的公比为q（q＞0），由题意列式求得q，代入等比数列的通项公式得答案；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=$\frac{1}{{{{log}_2}{a_n}•{{log}_3}{a_{n+1}}}}$，然后利用裂项相消法求得数列{b_n}的前n项和T_n；利用单调性求得最小值，结合T_n＞log_m2成立求得实数m的取值范围．

解答 解：（1）设正项等比数列{a_n}的公比为q（q＞0），由题意得：a₃=9a₁+8a₂，
∴3q²=27+24q，∴q=9或q=-1（舍去），
∴${a_n}=3•{9^{n-1}}={3^{2n-1}}$；
（2）${b_n}=\frac{1}{{{{log}_3}{3^{2n-1}}•{{log}_3}{3^{2n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴${T_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$．
∵${T}_{n}′=\frac{2n+1-2n}{（2n+1）^{2}}=\frac{1}{（2n+1）^{2}}＞0$，∴T_n单调递增，则T_n的最小值为$\frac{1}{3}$．
∴${log_m}2＜\frac{1}{3}$，得$\left\{{\begin{array}{l}{0＜m＜1}\\{2＞{m^{\frac{1}{3}}}}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{m＞1}\\{2＜{m^{\frac{1}{3}}}}\end{array}}\right.$，
∴0＜m＜1或m＞8，
故实数m的取值范围是（0，1）∪（8，+∞）．

点评 本题考查等差数列的性质，考查了裂项相消法求数列的前n项和，训练了数列中恒成立问题的求解方法，是中档题．