Question

设f（x）是R上的偶函数，在区间（-∞，0）上是增函数，且有f（2a²+a+1）＜f（2a²-2a+1），求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：易判断f（x）在（0，+∞）上是减函数，根据单调性可去掉不等式中的符号“f”，转化具体不等式可求．

解答： 解：∵f（x）是R上的偶函数，且在区间（-∞，0）上是增函数，
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数，
又2a²+a+1=2(a+

1

4

)2+

7

8

＞0，2a²-2a+1=2(a-

1

2

)2+

1

2

＞0，f（2a²+a+1）＜f（2a²-2a+1），
∴2a²+a+1＞2a²-2a+1，即3a＞0，
解得a＞0，
∴实数a的取值范围为（0，+∞）．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其综合运用，考查抽象不等式的求解，考查转化思想，属中档题．