Question

已知sinα+sinβ=

2

3

，求cosα+cosβ取值范围．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：可设t=cosα+cosβ①和sinα+sinβ=

2

3

②，求出①和②的平方和，利用同角三角函数间的基本关系及两角差的余弦函数公式化简后，根据余弦函数的值域得到t的范围即得到cosα+cosβ的取值范围．

解答： 解：令t=cosα+cosβ，①
sinα+sinβ=

2

3

，②
①²+②²，得t²+

4

9

=2+2cos（α-β）．
∴2cos（α-β）=t²-

14

9

∈[-2，2]．
即t²-

14

9

≤2且t²-

14

9

≥-2，解得-

4 2

3

≤t≤

4 2

3

，
∴t∈[-

4 2

3

，

4 2

3

]．

点评：考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角差的余弦函数公式化简求值，掌握利用三角函数的值域求字母范围的方法并会求一元二次不等式的解集．