Question

设函数f（x）=x^a+1（a∈Q）的定义域为[-b，-a]∪（a，b]，其中0＜a＜b，且f（x）在[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f（x）在[-b，-a]上的最大值与最小值的和是（　　）

• A、-5
• B、9
• C、-5或9
• D、以上不对

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：先根据函数f（x）=x^α+1得f（x）-1=x^α，由题意知函数y=x^α，或是奇函数或是偶函数，再根据奇（偶）函数的图象特征，利用函数y=x^α在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，根据图象的对称性可得y=x^α在区间[-b，-a]上的最大值与最小值的情况，从而得出答案．

解答： 解：令g（x）=x^α，定义域为[-b，-a]∪[a，b]，则
∵函数f（x）=x^α+1（α∈Q）在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，
∴g（x）=x^α在区间[a，b]上的最大值为5，最小值为2，
若g（x）=x^α是偶函数，则g（x）=x^α在区间[-b，-a]上的最大值为5，最小值为2，
∴函数f（x）=x^α+1（α∈Q）在区间[-b，-a]上的最大值为6，最小值为3，最大值与最小值的和9；
若g（x）=x^α是奇函数，则g（x）=x^α在区间[-b，-a]上的最大值为-2，最小值为-5，
∴函数f（x）=x^α+1（α∈Q）在区间[-b，-a]上的最大值为-1，最小值为-4，最大值与最小值的和-5；
∴f（x）在区间[-b，-a]上的最大值与最小值的和为-5或9．
故选：C．

点评：本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，考查分类讨论的数学思想，正确运用幂函数的性质是关键．