Question

设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，且f（-2）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　　）

• A、（-∞，-2）∪（0，2）
• B、（-2，0）∪（0，2）
• C、（-∞，-2）∪（2，+∞）
• D、（-2，0）∪（2，+∞）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：设F（x）=f （x）g（x），由条件可得F（x）在（-∞，0）上为增函数，得F（x）在（0，+∞）上也为增函数．由g（-2）=0，必有F（-2）=F（2）=0，构造如图的F（x）的图象，可知F（x）＜0的解集．

解答： 解：设F（x）=f （x）g（x），当x＜0时，?∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＜0，
∴F（x）在（-∞，0）上为减函数．?
∵F（-x）=f （-x）g （-x）=-f （x）•g （x）=-F（x），故F（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．?
∴F（x）在（0，+∞） 上亦为减函数．
已知g（-2）=0，必有F（-2）=F（2）=0，构造如图的F（x）的图象，

可知F（x）＜0的解集为x∈（-2，0）∪（2，+∞）．?
故选：D．

点评：本题主要考查复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系，函数的奇偶性和单调性的应用，属于基础题．