Question

三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直且相等，点P，Q分别是线段BC和OA上移动，且满足BP≤

1

2

BC，AQ≤

1

2

AO，则PQ和OB所成角余弦值的取值范围是（　　）

• A、[

  3

  3

  ，

  2 5

  5

  ]
• B、[

  3

  3

  ，

  2

  2

  ]
• C、[

  6

  6

  ，

  2 5

  5

  ]
• D、[

  6

  6

  ，

  2

  2

  ]

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：如图所示，不妨取OA=2．则B（0，2，0），C（0，0，2）．设P（0，y，z），

BP

=λ

BC

，(0≤λ≤

1

2

)．可得P（0，2-2λ，2λ）．设Q（m，0，0），(

1

2

≤m≤1)．可得cos＜

PQ

，

OB

＞=

PQ • OB

| PQ | | OB|

=

1-λ

m2+(1-λ)2+λ2

．对λ，m分类讨论即可得出．

解答： 解：如图所示，不妨取OA=2．则B（0，2，0），C（0，0，2）．
设P（0，y，z），

BP

=λ

BC

，(0≤λ≤

1

2

)．
则（0，y-2，z）=λ（0，-2，2）=（0，-2λ，2λ），
∴

y-2=-2λ z=2λ

解得y=2-2λ，z=2λ．
∴P（0，2-2λ，2λ）．
设Q（m，0，0），(

1

2

≤m≤1)．
则

PQ

=（m，2λ-2，-2λ），
又

OB

=（0，2，0），
∴cos＜

PQ

，

OB

＞=

PQ • OB

| PQ | | OB|

=

1-λ

m2+(1-λ)2+λ2

．
①当点P取B（0，1，0）时，取Q(

1

2

，0，0)时，m=

1

2

，λ=0，则cos＜

PQ

，

OB

＞=

1

( 1 2 )2+1

=

2 5

5

．
取Q（1，0，0）时，m=1，λ=0，cos＜

PQ

，

OB

＞=

2

2

．
②当点P取B（0，

1

2

，

1

2

）时，取Q(

1

2

，0，0)时，m=

1

2

，λ=

1

2

，则cos＜

PQ

，

OB

＞=

1 2

( 1 2 )2+( 1 2 )2×2

=

3

3

．
取Q（1，0，0）时，m=1，λ=

1

2

，cos＜

PQ

，

OB

＞=

1 2

12+( 1 2 )2×2

=

6

6

．
综上可得：PQ和OB所成角余弦值的取值范围是[

6

6

，

2 5

5

]．
故选：C．

点评：本题考查了向量的夹角公式、异面直线所成的夹角，考查了分类讨论、推理能力和空间想象能力，属于难题．