Question

19．如图，A、B分别是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$两渐近线上的点，A、B在y轴上的射影分别为A₁、B₁，M、N分别是A₁A、B₁B、的中点，若AB中点在双曲线上，且$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}≥-{a^2}$，则双曲线的离心率的取值范围为（　　）

• A． $（{1，\frac{3}{2}}]$
• B． $[\frac{3}{2}，+∞）$
• C． $（1，\frac{{\sqrt{5}}}{2}]$
• D． $[\frac{{\sqrt{5}}}{2}，+∞）$

Answer 1

分析 设A（${x}_{1}，\frac{b}{a}{x}_{1}$），B（${x}_{2}，-\frac{b}{a}{x}_{2}$），求出M，N的坐标，再由AB中点在双曲线上可得${x}_{1}{x}_{2}={a}^{2}$．结合$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}≥-{a^2}$列式求得双曲线的离心率的取值范围．

解答 解：设A（${x}_{1}，\frac{b}{a}{x}_{1}$），B（${x}_{2}，-\frac{b}{a}{x}_{2}$），
则M（$\frac{{x}_{1}}{2}，\frac{b}{a}{x}_{1}$），N（$\frac{{x}_{2}}{2}，-\frac{b}{a}{x}_{2}$），
∵AB中点在双曲线上，
∴$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{4{a}^{2}}-\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{4{a}^{2}}=1$，即${x}_{1}{x}_{2}={a}^{2}$．
由$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}≥-{a^2}$，得$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}{x}_{1}{x}_{2}≥-{a}^{2}$，
∴$\frac{1}{4}-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}≥-1$，即$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}≤\frac{5}{4}$，
∴$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}≤\frac{5}{4}$，解得$-\frac{3}{2}≤e≤\frac{3}{2}$，
∵e＞1，
∴1＜e$≤\frac{3}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题．