Question

如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝.

(1)证明：DE//平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；

(3)当AD＝时，求三棱锥F－DEG的体积V_F－DEG.

Answer 1

(1)证明：在等边三角形ABC中，AD＝AE.

∴＝，在折叠后的三棱锥ABCF中也成立，

∴DE∥BC，∵DE⊄平面BCF,

BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF.

(2)证明：在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF⊥BC，①

BF＝CF＝.

∵在三棱锥A－BCF中，BC＝，∴BC²＝BF²＋CF²，

∴CF⊥BF，②

∵BF∩CF＝F，∴CF⊥平面ABF.

(3)解析：由(1)可知GE∥CF，结合(2)可得GE⊥平面DFG.

∴V_F－DEG＝V_E－DFG＝×·DG·FG·GE＝××××＝.