Question

已知P（x，y）满足约束条件

x+y-3≤0 x-y-1≤0 x-1≥0

，O为坐标原点，A（3，4），则|

OP

|•cos∠AOP的最大值是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：先根据约束条件画出可行域，利用向量的数量积将|

OP

|•cos∠AOP转化成

3x+4y

5

，设z=

3x+4y

5

，再利用z的几何意义求最值

解答： 解：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域（如图），
由于|

OP

|•cos∠AOP=

| OP •| OA cos∠AOP||

| OA |

=

OP • OA

| OA |

=

(3，4)•(x，y)

5

=

3x+4y

5

，
令 z=

1

5

（3x+4y），则3x+4y=5z，
平移直线3x+4y=0，
由图形可知，当直线经过可行域中的点B时，直线3x+4y=5z的截距最大，此时z取到最大值，
由

x=1 x+y-3=0

，解得x=1，y=2，
即B（1，2），代入 z=

1

5

（3x+4y）=

3+8

5

=

11

5

所以|

OP

|•cos∠AOP的最大值为

11

5

故答案为：

11

5

点评：本题主要考查了向量的数量积、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．