Question

8．设函数f（x）在R上的导函数为f′（x），对?x∈R有f（x）+f（-x）=x²，且在（0，+∞）上有f′（x）-x＜0，若f（4-m）-f（m）≥8-4m，则实数m的取值范围是[2，+∞）．

Answer 1

分析 由题意设g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，由条件和奇函数的定义判断出g（x）是R上的奇函数，求出g′（x）后结合条件判断出符号，由导数与单调性的关系判断出在（0，+∞）上的单调性，由奇函数的性质判断出在R上的单调性，由g（x）的解析式化简已知的不等式，利用g（x）的单调性列出不等式，求出实数m的取值范围．

解答 解：由题意设g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，
∵对?x∈R有f（x）+f（-x）=x²，
∴g（x）+g（-x）=f（x）+f（-x）-x²=0，
则函数g（x）是R上的奇函数，
∵在（0，+∞）上f′（x）-x＜0，
∴g′（x）=f′（x）-x＜0，则函数g（x）在（0，+∞）上递减，
由奇函数的性质知：函数g（x）在（-∞，+∞）上递减，
∵f（4-m）-f（m）=[g（4-m）+$\frac{1}{2}$（4-m）²]-[g（m）+$\frac{1}{2}$m²]
=g（4-m）-g（m）+8-4m≥8-4m，
∴g（4-m）≥g（m），则4-m≤m，解得m≥2，
即实数m的取值范围是[2，+∞），
故答案为：[2，+∞）．

点评 本题考查导数与单调性的关系，奇函数的定义以及性质，以及函数单调性的应用，考查转化思想，构造法，化简、变形能力．