Question

下列关于向量的命题中：
①（

a

-

b

）•

c

=

a

•

c

-

b

•

c

②（

a

•

b

）•

c

=

a

•（

b

•

c

）
③(

a

-

b

)2=

a

2-2|

a

|•|

b

|+

b

2
④|

a

|2=

a

2
⑤(

a

•

b

)2=

a

2•

b

2
其中正确的是

 

（请把所有正确的序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：根据数量积运算满足分配律，不满足结合律可知命题①、②的真假；根据(

a

-

b

)2展开式中的乘积是数量积，可知命题③的真假；由数量积的定义计算，有

a

2=

a

•

a

=|

a

||

a

|cos0°，可知命题④的真假；根据数量积的运算律，考虑(

a

•

b

)2的计算顺序与

a

2•

b

2的计算顺序即可判断命题⑤的真假．

解答： 解：在命题①中，因为向量数量积运算满足分配律，
所以有（

a

-

b

）•

c

=

a

•

c

-

b

•

c

，所以①为真命题．
在命题②中，因为

a

•

b

为数量，所以（

a

•

b

）•

c

表示与

c

共线的向量，
同理，

a

•（

b

•

c

）表示与

a

共线的向量，
当

a

与

c

不共线时，有（

a

•

b

）•

c

≠

a

•（

b

•

c

），
所以②为假命题．
在命题③中，(

a

-

b

)2=(

a

-

b

)•(

a

-

b

)=

a

2-2

a

•

b

+

b

2=

a

2-2|

a

|•|

b

|cosθ+

b

2，
其中θ为

a

与

b

的夹角，
易知(

a

-

b

)2与

a

2-2|

a

|•|

b

|+

b

2不一定相等，
所以③为假命题．
在命题④中，

a

2=

a

•

a

=|

a

||

a

|cos0°=|

a

|²，
所以④为真命题．
在命题⑤中，(

a

•

b

)2=(|

a

||

b

|cosθ)2=|

a

|2|

b

|2cos2θ，
而

a

2•

b

2=|

a

|²|

b

|²，易知(

a

•

b

)2与

a

2•

b

2不一定相等，
所以⑤为假命题．
故答案为：①④．

点评：1、本题主要考查了命题真假的判断，关键是熟知数量积的概念，数量积的运算及运算律等．
2、记住如下一些常见的结论，在今后的解题中会有所帮助，尤其是提高解题的速度：
（1）向量数量积运算满足分配律，交换律，但不满足结合律；
（2）(

a

-

b

)2=

a

2-2

a

•

b

+

b

2，(

a

+

b

)2=

a

2+2

a

•

b

+

b

2；
（3）

a

2-

b

2=(

a

+

b

)•(

a

-

b

)；
（4）|

a

|2=

a

2．
3、在进行数量积的运算时，特别注意数量积中“积”的符号不可随意省略，也不可以写成“×”．