Question

函数f（x）=sinωxcosφ-cosωxsinφ（ω＞0，0＜φ＜π）的图象过点（

π

6

，0），且相邻两条对称轴间距离为

π

2

．
（1）求f（x）的表达式；
（2）试求函数y=f²（

1

2

x）+

1

2

的单调增区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=sin（ωx-φ），由对称轴可得ω=2，代点可得φ值，可得解析式（2）化简可得y=1-

1

2

cos（2x-

2π

3

），由2kπ≤2x-

2π

3

≤2kπ+π解不等式可得单调区间．

解答： 解：（1）化简可得f（x）=sinωxcosφ-cosωxsinφ=sin（ωx-φ），
∵相邻两条对称轴间距离为

π

2

，∴

2π

ω

=π，解得ω=2，
∴f（x）=sin（2x-φ），又y=f（x）图象过点（

π

6

，0），
∴2×

π

6

-φ=kπ，k∈Z，∴φ=

π

3

-kπ，
又0＜φ＜π，∴φ=

π

3

，∴f（x）=sin（2x-

π

3

）；
（2）可得y=f²（

1

2

x）+

1

2

=sin²（x-

π

3

）+

1

2

=

1-cos(2x- 2π 3 )

2

+

1

2

=1-

1

2

cos（2x-

2π

3

），
由2kπ≤2x-

2π

3

≤2kπ+π可得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，
∴函数y=f²（

1

2

x）+

1

2

的单调增区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）

点评：本题考查三角函数的性质，涉及三角函数公式的应用，属基础题．