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(本小题满分12分)
   已知函数
  (Ⅰ)设{an}是正数组成的数列,前n项和为Sn,其中a1=3,若点 (n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上,求证:点(n, Sn)也在y=f′(x)的图象上;
  (Ⅱ)求函数f(x)在区间(a-1,a)内的极值。
(Ⅰ)证明见解析。
(Ⅱ)当,此时无极小值;
的极小值为,此时无极大值;
既无极大值又无极小值。
(Ⅰ)证明:因为所以′(x)=x2+2x,
由点在函数y=f′(x)的图象上,
所以
所以,又因为′(n)=n2+2n,所以,
故点也在函数y=f′(x)的图象上.
(Ⅱ)解:,
.
x变化时,的变化情况如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,0)
0
(0,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)

极大值

极小值

 
注意到,从而
①当,此时无极小值;
②当的极小值为,此时无极大值;
③当既无极大值又无极小值。
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