Question

【题目】已知函数f（x）=（2x2﹣3x）ex
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若方程（2x﹣3）ex= 有且仅有一个实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题可得：f′（x）=（2x2+x﹣3）ex

令f′（x）＜0，得：2x2+x﹣3＜0，解得：

∴函数f（x）的单调递减区间是 ．

（2）解：∵方程 有且仅有一个实根

∴方程（2x2﹣3x）ex=a有且仅有一个非零实根，即方程f（x）=a，（x≠0）有且仅有一个实根．

因此，函数y=f（x），（x≠0）的图象与直线y=a有且仅有一个交点．

结合（1）可知，函数f（x）的单调递减区间是 ，单调递增区间是

∴函数f（x）的极大值是 ，极小值是f（1）=﹣e．

又∵ 且x＜0时，f（x）＞0．∴当 或a=0或a=﹣e时，

函数y=f（x），（x≠0）的图象与直线y=a有且仅有一个交点．

∴若方程 有且仅有一个实根，

实数a的取值范围是

【解析】（1）求函数f（x）的导数，利用导数小于0，求解单调递减区间；（2）分离变量，通过函数的图象的交点个数，判断零点个数，利用单调性求解函数的极值，推出结果即可．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．