Question

2．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦点重合，抛物线C的准线l与x轴的交点为M，过点M且斜率为k的直线l₁交抛物线C于A，B两点，线段AB的中点为P，直线PF与抛物线C交于D，E两点
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若λ=$\frac{|MA|•|MB|}{|FD|•|FE|}$，写出λ关于k的函数解析式，并求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得-$\frac{1}{2}p$=-1可求p，进而可求抛物线方程．
（Ⅱ）设l₁方程为y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理可得关于y的方程，结合△=16-16k²＞0，可求k的范围，然后结合方程的根与系数关系可求y₁+y₂，y₁y₂，代入可求x₁+x₂，x₁x₂及P，从而可求|MA||MB|及直线PF的方程，由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{k}{1-{k}^{2}}（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得关于y的方程，同理可求y₃+y₄，y₃y₄，代入直线方程得x₃+x₄，x₃x₄，可求|FD||FE|，由题设建立等式，则可以由k表示λ，结合函数的单调性可求λ的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦点重合，
∴$\frac{p}{2}$=1，解得p=2，
∴抛物线方程为y²=4x．   …（4分）
（Ⅱ）设l₁方程为y=k（x+1），A（x₁，y₁），
B（x₂，y₂），D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得ky²-4y+4k=0，
∵△=16-16k²＞0，∴k∈（-1，0）∪（0，1），
y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=4，
代入方程得：${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4}{{k}^{2}}$-2，x₁x₂=1，
P（$\frac{2}{{k}^{2}}$-1，$\frac{2}{k}$），…（6分）
∴|MA|•|MB|=$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$
=x₁x₂+x₁+x₂+1+y₁y₂=4（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$），…（8分）
且直线PF的方程为y=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{k}{1-{k}^{2}}（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得ky²-4（1-k²）y-4k=0，
则${y}_{3}+{y}_{4}=\frac{4（1-{k}^{2}）}{k}$，y₃y₄=-4，
代入直线方程得${x}_{3}+{x}_{4}=\frac{4（1-{k}^{2}）^{2}}{{k}^{2}}+2$，x₃x₄=1，
∴|FD|•|FE|=（x₃+1）（x₄+1）=$\frac{4（1-{k}^{2}）^{2}}{{k}^{2}}+4$，…（10分）
则$λ=\frac{1+{k}^{2}}{{k}^{4}-{k}^{2}+1}$，…（12分）
令t=k²+1，则t∈（1，2），$λ=\frac{t}{（t-1）^{2}-t+2}$=$\frac{t}{{t}^{2}-3t+3}$，
而$\frac{t}{{t}^{2}-3t+3}$=$\frac{1}{t+\frac{3}{t}-3}$在（1，$\sqrt{3}$）单调递增，在（$\sqrt{3}，2$）单调递减，
∴实数λ的取值范围是（ 1，$\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$]．…（14分）

点评 本题主要考查 了利用抛物线的性质求解抛物线的方程及直线与抛物线相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用是求解问题的关键