Question

12．已知数列{a_n}，定义其平均数是V_n=$\frac{{{a_1}+{a_2}+…+{a_n}}}{n}$（n≥N^*））
（1）若数列{a_n}的平均数V_n=2n-1，求a_n
（2）若数列{a_n}的首项为1，公比为2的等比数列，其平均数为V_n，V_n＞t-$\frac{1}{n}$对一切n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把V_n=2n-1代入V_n=$\frac{{{a_1}+{a_2}+…+{a_n}}}{n}$，得到${a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}=2{n}^{2}+n$，进一步得到${a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n-1}=2（n-1）^{2}+（n-1）$，两式作差可得数列{a_n}的通项公式；
（2）求出等比数列的通项公式并求得平均数为V_n，代入V_n＞t-$\frac{1}{n}$，分离参数t后求得$\frac{{2}^{n}}{n}$的最小值得答案．

解答 解：（1）∵V_n=$\frac{{{a_1}+{a_2}+…+{a_n}}}{n}$，∴$\frac{{{a_1}+{a_2}+…+{a_n}}}{n}$=2n+1，
变形得${a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}=2{n}^{2}+n$，①
当n≥2时，有${a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n-1}=2（n-1）^{2}+（n-1）$，②
①-②得a_n=4n-1（n≥2），
又当n=1时，V₁=a₁=2×1+1=3，适合a_n=4n-1，
故a_n=4n-1；
（2）∵数列{a_n}的首项为1，公比为2的等比数列，
∴${a}_{n}={2}^{n-1}$，其平均数${V}_{n}=\frac{{2}^{n}-1}{n}$，
由已知V_n＞t-$\frac{1}{n}$对一切n∈N*恒成立，即$\frac{{2}^{n}-1}{n}＞t-\frac{1}{n}$对一切n∈N*恒成立，
也就是t$＜\frac{{2}^{n}}{n}$恒成立，令f（n）=$\frac{{2}^{n}}{n}$，则$\frac{f（n+1）}{f（n）}=\frac{2n}{n+1}=2-\frac{2}{n+1}$，
当n=1时，$\frac{f（n+1）}{f（n）}=1$，当n＞1，n∈N^*时，$\frac{f（n+1）}{f（n）}＞1$，
∴f（n）≥f（1）=2．
因此实数t的范围是t＜2．

点评 本题是数列与不等式的综合题，考查了等比数列的通项公式，考查了利用分离参数法求解恒成立问题，是中档题．