Question

3．在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c．已知a=3，c=2，cosB=$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求sinA；
（Ⅱ）设f（x）=bsin²x+$\sqrt{30}$sinxcosx（x∈R），求f（x）的最小正周期和对称轴的方程．

Answer 1

分析 （I）利用余弦定理求出b，再利用正弦定理求出sinA；
（II）利用二倍角公式和差角公式化简f（x），利用三角函数的周期公式和对称轴公式得出答案．

解答 解：（Ⅰ）由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=10，∴b=$\sqrt{10}$．
又sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，∴sinA=$\frac{asinB}{b}$=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$．
（II）f（x）=$\sqrt{10}$sin²x+$\sqrt{30}$sinxcosx
=$\frac{\sqrt{10}}{2}$（1-cos2x）+$\frac{\sqrt{30}}{2}$sin2x
=$\sqrt{10}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x）+$\frac{\sqrt{10}}{2}$
=$\sqrt{10}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π．
令2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，解得，x=$\frac{π}{3}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z．
∴f（x）的对称轴方程为：x=$\frac{π}{3}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z．

点评 本题考查了正余弦定理解三角形，三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．