Question

在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，满足2

AB

•

AC

=a2-(b+c)2．
（1）求角A的大小；
（2）求sinA•sinB•sinC的最大值，并求取得最大值时角B，C的大小．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（1）由2

AB

•

AC

=a2-(b+c)2．利用数量积运算可得：2bccosA=a²-（b+c）²，展开再利用余弦定理可得2bccosA=-2bccosA-2bc，化为cosA=-

1

2

．
（2）由A=

2π

3

，可得C=

π

3

-B，0＜B＜

π

3

．利用两角和差的正弦公式、倍角公式可得sinA•sinB•sinC=

3

2

sinBsin(

π

3

-B)=

3

4

sin(2B+

π

6

)-

3

8

，由0＜B＜

π

3

．可得

π

6

＜2B+

π

6

＜

5π

6

，当2B+

π

6

=

π

2

时，sinA•sinB•sinC取得最大值，即可得出．

解答： 解：（1）∵

AB

•

AC

=cbcosA，2

AB

•

AC

=a2-(b+c)2．
∴2bccosA=a²-（b+c）²，展开为：2bccosA=a²-b²-c²-2bc，
∴2bccosA=-2bccosA-2bc，化为cosA=-

1

2

，
∵A∈（0，π）．∴A=

2π

3

．
（2）∵A=

2π

3

，∴C=

π

3

-B，0＜B＜

π

3

．
∴sinA•sinB•sinC=

3

2

sinBsin(

π

3

-B)
=

3

2

sinB(

3

2

cosB-

1

2

sinB)
=

3

4

sinBcosB-

3

4

sin2B
=

3

8

sin2B-

3

8

(1-cos2B)
=

3

4

(

3

2

sin2B+

1

2

cos2B)-

3

8

=

3

4

sin(2B+

π

6

)-

3

8

，
∵0＜B＜

π

3

．∴

π

6

＜2B+

π

6

＜

5π

6

，
当2B+

π

6

=

π

2

时，即B=

π

6

时，sinA•sinB•sinC取得最大值

3

8

，此时B=C=

π

6

．

点评：本题考查了数量积运算、余弦定理、两角和差的正弦公式、倍角公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．