Question

1．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB=AD=2，CB=CD=$\sqrt{7}$，∠BAD=120°，点E在线段AC上，且AE=2EC，F为线段PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PBD
（2）若PC=5，三棱锥F-PAD的体积．

Answer 1

分析 （1）设AC∩BD=O，连接PO，通过证明EF为△POC的中位线，推出EF∥PO，然后EF∥平面PBD．
（2）利用V_F-PAD=$\frac{1}{2}$V_C-PAD=$\frac{1}{2}$V_P-CAD，求解几何体的体积即可．

解答 （本小题满分12分）
（1）证明：∵AB=AD，CB=CD，∴AC⊥BD，设AC∩BD=O，连接PO，由AB=AD=2，∠BAD=120°
得：OA=1，BD=2$\sqrt{3}$，在Rt△COD中，CD=$\sqrt{7}$，OD=$\sqrt{3}$∴OC=2
∵AE=2EC∴E为OC中点   又∵F为PC的中点∴EF为△POC的中位线
∴EF∥PO     又PO?面PBD   EF?面PBD
∴EF∥平面PBD…（6分）

（2）解：在Rt△PAC中，PC=5，AC=3∴PA=4
∴V_F-PAD=$\frac{1}{2}$V_C-PAD=$\frac{1}{2}$V_P-CAD=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$V_P-ABCD=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×3×2$\sqrt{3}$×4=$\sqrt{3}$…（12分）

点评 本题考查直线与平面平行的证明，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．