Question

设 ．

（1）若是函数的极大值点，求的取值范围；

（2）当时，若在上至少存在一点，使成立，求的取值范围．

 

Answer 1

(1) ; (2) .

【解析】

试题分析：(1)对函数求导 ，

求出零点，分析单调性，找出极大值点与1的关系，进行计算；

（2）原问题转化为当时, ，利用第一问求出最值，解不等式.

试题解析：(1)

当时，f(x)在（0，1）递减，在（1，+）递增，故f(x)在x=1处取到极小值，不合舍去。

当时，f(x)在（0，a-1）递增，在（a-1，1）递减，在（1，+）递增，故f(x)在x=1处取到极小值，不合舍去。

当时，f(x)在（0，1）和（1，+）均递增，故f(x)在x=1处没有极值，不合舍去。

当时，f(x)在（0，1）递增，在（1，a-1）递减，在（a-1， +）递增，故f(x)在x=1处取到极大值，符合题意。

综上所述，当，即时，是函数的极大值点． 6分

（2）在上至少存在一点，使成立，等价于

当时, ．由（1）知，①当，即时，

函数在上递减，在上递增，．

由，解得．由，解得， ； ②当，即时，函数在上递增，在上递减，．

综上所述，当时，在上至少存在一点，使成立． 13分

考点：导数计算，转化与化归思想.