Question

已知定义域为R的函数f（x）的图象关于直线x=1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=x，且对任意x∈R都有f（x+2）=f（x），g（x）=

f(x)，x≥0 -log2013(-2x)，x＜0

，则方程g（x）-g（-x）=0的实数根个数为

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，可画出f（x）在[0，2]的图象，再由周期性画出f（x）（x≥0）的图象，再画出x＜0时，y=-log₂₀₁₃（-2x）的图象，以及y=g（-x）的图象，通过图象观察交点个数，即为方程根的个数．

解答： 解：由于函数f（x）的图象关于
直线x=1对称，
当x∈[0，1]时，f（x）=x，
画出f（x）在[0，2]的图象，
由于对任意x∈R都有f（x+2）=f（x），
则画出f（x）（x≥0）的图象，
再画出x＜0时，y=-log₂₀₁₃（-2x）的图象，
令g（x）-g（-x）=0则g（x）=g（-x），
作出y=g（-x）的图象，通过图象观察有两个交点，
又x=0时，g（0）=g（0），
则实根个数为3．
故答案为：3．

点评：本题考查分段函数的图象和应用，考查函数的对称性、周期性及运用，考查方程的根的个数问题转化为图象交点个数，属于中档题．