Question

17．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的外接球表面积为（　　）

• A． 29π
• B． 64π
• C． 41π
• D． 48π

Answer 1

分析 由已知中的三视图，可知该几何体是一个一边为为3和4的直角三角形底面的三棱锥，有两个面垂直，补形成为长方体，即该四面体的外接球的半径R，即可求表面积

解答 解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个一边为为3和4的直角三角形底面的三棱锥，有两个面垂直，补形成为长方体：
如图：该四面体为ABD-D′，
DD′=4，AD=4，AB=3，
则BD=5．
D′B=$\sqrt{41}$
∴外接球的半径R=$\frac{\sqrt{41}}{2}$．
表面积S=4πR²=4×$π×（\frac{\sqrt{41}}{2}）^{2}$=41π．
故选：C．

点评 本题考查的知识点是由三视图的认识和外接球的问题，以及球的表面积计算，解决本题的关键是得到该几何体的形状．补形法来解决问题比较直观．属于基础题．