Question

2．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=$\frac{1}{2}×$（弦×矢+矢²），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围城，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角$\frac{2π}{3}$，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（$\sqrt{3}≈1.73$）（　　）

• A． 16平方米
• B． 18平方米
• C． 20平方米
• D． 25平方米

Answer 1

分析 在Rt△AOD中，由题意OA=4，∠DAO=$\frac{π}{6}$，即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．

解答 解：如图，由题意可得：∠AOB=$\frac{2π}{3}$，OA=6，
在Rt△AOD中，可得：∠AOD=$\frac{π}{3}$，∠DAO=$\frac{π}{6}$，OD=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{1}{2}$×6=3，
可得：矢=6-3=3，
由AD=AO•sin$\frac{π}{3}$=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
可得：弦=2AD=2×3$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$，
所以：弧田面积=$\frac{1}{2}$（弦×矢+矢²）=$\frac{1}{2}$（6$\sqrt{3}$×3+3²）=9$\sqrt{3}$+4.5≈20平方米．
故选：C．

点评 本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于中档题．