Question

18．如图，已知圆锥OO₁和圆柱O₁O₂的组合体（它们的底面重合），圆锥的底面圆O₁半径为r=5，OA为圆锥的母线，AB为圆柱O₁O₂的母线，D、E为下底面圆O₂上的两点，且DE=6，AB=6.4，AO=5$\sqrt{2}$，AO⊥AD．
（1）求证：平面ABD⊥平面ODE；
（2）求二面角B-AD-O的正弦值．

Answer 1

分析 （1）只需证明DE⊥BD．DE⊥AB，可得DE⊥平面ABD．即证得平面ABD⊥平面ODE．
（2）以D为原点，DB、DE所在的直线为x、y轴，建立空间直角坐标系．则D（0，0，0），A（8，0，6.4），B（8，0，0），O（4，3，11.4）．利用向量法求解．

解答 解：（1）依题易知，圆锥的高为$h=\sqrt{{{（{5\sqrt{2}}）}^2}-{5^2}}=5$，又圆柱的高为AB=6.4，AO⊥AD，
所以OD²=OA²+AD²，
因为AB⊥BD，所以AD²=AB²+BD²，
连接OO₁、O₁O₂、DO₂，易知O、O₁、O₂三点共线，OO₂⊥DO₂，
所以$O{D^2}=OO_2^2+{O_2}{D^2}$，
所以$B{D^2}=OO_2^2+{O_2}{D^2}-A{O^2}-A{B^2}={（{6.4+5}）^2}+{5^2}-{（{5\sqrt{2}}）^2}-{6.4^2}=64$，
解得BD=8，又因为DE=6，圆O₂的直径为10，圆心O₂在∠BDE内，
所以易知∠BDE=90°，所以DE⊥BD．
因为AB⊥平面BDE，所以DE⊥AB，因为AB∩BD=B，所以DE⊥平面ABD．
又因为DE?平面ODE，所以平面ABD⊥平面ODE．
（2）如图，以D为原点，DB、DE所在的直线为x、y轴，建立空间直角坐标系．

则D（0，0，0），A（8，0，6.4），B（8，0，0），O（4，3，11.4）．
所以$\overrightarrow{DA}$=（8，0，6.4），$\overrightarrow{DB}$=（8，0，0），$\overrightarrow{DO}$=（4，3，11.4），
设平面DAO的法向理为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
所以$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{m}=8x+6.4z=0，\overrightarrow{DO}•\overrightarrow{m}=4x+3y+11.4z=0\\;\$，令x=12，则$\overrightarrow{m}=（12，41，-15）$．
可取平面BDA的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（0，1，0）$，
所以cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{41}{5\sqrt{82}}=\frac{\sqrt{82}}{10}$，
所以二面角B-AD-O的正弦值为$\frac{{3\sqrt{2}}}{10}$．

点评 本题考查了空间面面位置关系，向量法求面面角，属于中档题．