Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+21nx．
（1）求f（x）的单调区间．
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值是﹣2，求a的值．
（3）记g（x）=f（x）+（a﹣1）lnx+1，当a≤﹣2时，若对任意x1 ， x2∈（0，+∞），总有|g（x1）﹣g（x2）|≥k|x1﹣x2|成立，试求k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=ax2+21nx（x＞0）的导数为f′（x）=2ax+ = ，

当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）递增；

当a＜0时，f′（x）＞0解得0＜x＜ ；f′（x）＜0解得x＞ ．

即有a≥0时，f（x）的增区间为（0，+∞）；

a＜0时，f（x）的增区间为（0， ）；减区间为（ ，+∞）

（2）解：由（1）可得a≥0时，f（x）在（0，1]递增，f（1）取得最大，且为a=﹣2，舍去；

a＜0时，若1≤ 即﹣1≤a＜0时，f（x）在（0，1]递增，

则f（1）=a取得最大值，且为a=﹣2＜﹣1，不成立；

若1＞ 即a＜﹣1时，f（x）在（0， ）递增，（ ，1]递减，．

则f（ 取得最大值，且为﹣1+2ln =﹣2，解得a=﹣e＜﹣1，成立．

综上可得a=﹣e

（3）解：g（x）=f（x）+（a﹣1）lnx+1=ax2+（a+1）lnx+1，

g′（x）=2ax+ ＜0，（a≤﹣2），即有g（x）在（0，+∞）递减，

令x1＜x2，则g（x1）＞g（x2），

若对任意x1，x2∈（0，+∞），总有|g（x1）﹣g（x2）|≥k|x1﹣x2|成立，

即为g（x1）﹣g（x2）≥k（x2﹣x1），即g（x1）+kx1≥g（x2）+kx2，

则h（x）=g（x）+kx在（0，+∞）递减，

即有h′（x）=g′（x）+k≤0恒成立，

则﹣k≥2ax+ 的最大值，

由a≤﹣2，2ax+ ≤﹣4x﹣ =﹣（4x+ ）≤﹣2 =﹣4，

当且仅当x= 时，取得最大值﹣4，

则﹣k≥﹣4，即k≤4，则k的最大值为4

【解析】（1）求出f（x）的导数，讨论a≥0时，a＜0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（2）由（1）可得，可得a≥0时，f（x）在（0，1]递增，f（1）最大为﹣2，解方程可得；a＜0时，求得极值点，与区间（ ），1]的关系，可得最大值，解方程可得a的值；（3）求得g（x）的导数，判断符号可得单调性，再由条件可得h（x）=g（x）+kx递减，运用导数，结合基本不等式可得k的最大值．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．