【题目】已知函数f(x)=ax2+21nx.
(1)求f(x)的单调区间.
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值是﹣2,求a的值.
(3)记g(x)=f(x)+(a﹣1)lnx+1,当a≤﹣2时,若对任意x1 , x2∈(0,+∞),总有|g(x1)﹣g(x2)|≥k|x1﹣x2|成立,试求k的最大值.
【答案】
(1)解:函数f(x)=ax2+21nx(x>0)的导数为f′(x)=2ax+ =
,
当a≥0时,f′(x)>0,f(x)递增;
当a<0时,f′(x)>0解得0<x< ;f′(x)<0解得x>
.
即有a≥0时,f(x)的增区间为(0,+∞);
a<0时,f(x)的增区间为(0, );减区间为(
,+∞)
(2)解:由(1)可得a≥0时,f(x)在(0,1]递增,f(1)取得最大,且为a=﹣2,舍去;
a<0时,若1≤ 即﹣1≤a<0时,f(x)在(0,1]递增,
则f(1)=a取得最大值,且为a=﹣2<﹣1,不成立;
若1> 即a<﹣1时,f(x)在(0,
)递增,(
,1]递减,.
则f( 取得最大值,且为﹣1+2ln
=﹣2,解得a=﹣e<﹣1,成立.
综上可得a=﹣e
(3)解:g(x)=f(x)+(a﹣1)lnx+1=ax2+(a+1)lnx+1,
g′(x)=2ax+ <0,(a≤﹣2),即有g(x)在(0,+∞)递减,
令x1<x2,则g(x1)>g(x2),
若对任意x1,x2∈(0,+∞),总有|g(x1)﹣g(x2)|≥k|x1﹣x2|成立,
即为g(x1)﹣g(x2)≥k(x2﹣x1),即g(x1)+kx1≥g(x2)+kx2,
则h(x)=g(x)+kx在(0,+∞)递减,
即有h′(x)=g′(x)+k≤0恒成立,
则﹣k≥2ax+ 的最大值,
由a≤﹣2,2ax+ ≤﹣4x﹣
=﹣(4x+
)≤﹣2
=﹣4,
当且仅当x= 时,取得最大值﹣4,
则﹣k≥﹣4,即k≤4,则k的最大值为4
【解析】(1)求出f(x)的导数,讨论a≥0时,a<0时,由导数大于0,可得增区间;导数小于0,可得减区间;(2)由(1)可得,可得a≥0时,f(x)在(0,1]递增,f(1)最大为﹣2,解方程可得;a<0时,求得极值点,与区间( ),1]的关系,可得最大值,解方程可得a的值;(3)求得g(x)的导数,判断符号可得单调性,再由条件可得h(x)=g(x)+kx递减,运用导数,结合基本不等式可得k的最大值.
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减;求函数
在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值即可以解答此题.
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【题目】已知动点 P 与定点的距离和它到定直线 x 4 的距离的比是1: 2 ,记动点 P 的轨迹为曲线 E.
(1)求曲线 E 的方程;
(2)设 A 是曲线 E 上的一个点,直线 AF 交曲线 E 于另一点 B,以 AB 为边作一个平行四边形,顶点 A、B、C、D 都在轨迹 E 上,判断平行四边形 ABCD 能否为菱形,并说明理由;
(3)当平行四边形 ABCD 的面积取到最大值时,判断它的形状,并求出其最大值.
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【题目】如图,椭圆的左、右焦点为
,
,右顶点为
,上顶点为
,若
,
与
轴垂直,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点且不垂直与坐标轴的直线与椭圆交于
,
两点,已知点
,当
时,求满足
的直线
的斜率
的取值范围.
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【题目】潮州统计局就某地居民的月收入调查了人,并根据所得数据画了样本的频率分
布直方图(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示收入在)。
(1)求居民月收入在的频率;
(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数;
(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这人中分层抽样方法抽出
人作进一步分析,则月收入在
的这段应抽多少人?
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【题目】设椭圆的离心率为
,已知但
在椭圆
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)过右焦点作斜率为的直线
与椭圆
交于
两点,在
轴上是否存在点
,使得
成立?如果存在,求出
的取值范围;如果不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)= .
(1)当a>0时,解关于x的不等式f(x)<0;
(2)若当a>0时,f(x)<0在x [1,2]上恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】在等比数列{an}中,an>0,(n∈N*),公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,a3与a5的等比中项为2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log2an , 数列{bn}的前n项和为Sn , 当 最大时,求n的值.
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