Question

已知曲线C的极坐标方程是ρ=

2

cos（θ+

π

4

）．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：

x=1-4t y=-1+3t

（t为参数），则直线l与曲线C相交所成的弦的弦长为

 

．

Answer 1

考点：点的极坐标和直角坐标的互化,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：把曲线C的极坐标方程展开，再利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可化为直角坐标方程，把直线l的方程化为普通方程，利用弦长公式l=2

r2-d2

即可得出．

解答： 解：由曲线C的极坐标方程ρ=

2

cos（θ+

π

4

），化为ρ=

2

(

2

2

cosθ-

2

2

sinθ)，即ρ=cosθ-sinθ，
∴ρ²=ρcosθ-ρsinθ，
∴x²+y²=x-y．
化为(x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

1

2

．表示圆心为C(

1

2

，-

1

2

)，半径r=

2

2

的圆．
直线l的参数方程是：

x=1-4t y=-1+3t

（t为参数）化为3x+4y+1=0．
∴圆心C到直线l的距离d=

| 3 2 - 4 2 +1|

32+42

=

1

10

．
∴直线l与曲线C相交所成的弦的弦长=2

r2-d2

=

7

5

．

点评：本题考查了把圆的极坐标方程化为直角坐标方程、圆的弦长公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．