Question

8．已知离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦点F是圆（x-1）²+y²=1的圆心，过椭圆上的动点P作圆两条切线分别交y轴于M，N（与P点不重合）两点．
（1）求椭圆方程；
（2）求线段MN长的最大值，并求此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据圆方程可求得圆心坐标，即椭圆的右焦点，根据椭圆的离心率进而求得a，最后根据a，b和c的关系求得b，则椭圆方程可得；
（2）P（x₀，y₀），M（0，m），N（0，n），把椭圆方程与圆方程联立求得交点的横坐标，进而可推断x₀的范围，把直线PM的方程化简，根据点到直线的距离公式表示出圆心到直线PM和PN的距离．求得x₀和y₀的关系式，进而求得m+n和mn的表达式，进而求得|MN|．把点P代入椭圆方程根据弦长公式求得MN|．记f（x）=2-$\frac{4}{（x-2）^{2}}$，根据函数的导函数判断函数的单调性，进而确定函数f（x）的值域，进而求得当x₀=-$\sqrt{2}$，时，|MN|取得最大值，进而求得y₀，则P点坐标可得．

解答 解：由圆（x-1）²+y²=1的圆心坐标为：（1，0），
∴c=1，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即a=$\sqrt{2}$，
∴b²=a²-c²=1，
∴椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）设P（x₀，y₀），M（0，m），N（0，n），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{（x-1）^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得：x=2-$\sqrt{2}$，x=2+$\sqrt{2}$（舍去），
∴x₀=（-$\sqrt{2}$，0）∪（0，2-$\sqrt{2}$），
直线PM的方程为：y-m=$\frac{{y}_{0}-m}{{x}_{0}}$x，即（y₀-m）x-x₀y+mx₀=0，
∴$\frac{丨{y}_{0}-m+{x}_{0}m丨}{\sqrt{（{y}_{0}-m）^{2}+{x}_{0}^{2}}}$=1，
∴（x₀-2）m²+2y₀m-x₀=0，
同理可知：（x₀-2）n²+2y₀n-x₀=0，
∴m和n是方程：（x₀-2）t²+2y₀t-x₀=0的两个根，
∴m+n=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，mn=$\frac{-{x}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
∴丨MN丨=丨m-n丨=$\sqrt{（m+n）^{2}-4mn}$=$\sqrt{\frac{4{x}_{0}^{2}+4{y}_{0}^{2}-8{x}_{0}}{（{x}_{0}-2）^{2}}}$，
∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}+{y}_{0}^{2}=1$，
∴丨MN丨=$\sqrt{2-\frac{4}{（{x}_{0}-2）^{2}}}$，
记f（x）=2-$\frac{4}{（x-2）^{2}}$，则f′（x）=$\frac{8}{（x-2）^{3}}$，
∴x∈（-$\sqrt{2}$，0）时，f'（x）＜0；x∈（0，2-$\sqrt{2}$）时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（-$\sqrt{2}$，0）上单调递减，在（0，2-$\sqrt{2}$）内也是单调递减，
显然，由f（x）的单调性可知：f（x）_max=2$\sqrt{\sqrt{2}-1}$，
∴丨MN丨_max=2$\sqrt{\sqrt{2}-1}$，
此时x₀=-$\sqrt{2}$，
故P点坐标为（-$\sqrt{2}$，0），为椭圆左顶点．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查了椭圆的标准方程、简单几何性质、一元二次方程根与系数的关系和利用导数研究函数的单调性等知识，属于中档题．